Question

已知函数f（x）=e^x-kx
（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若k＞0，且对于任意 x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用求导确定单调区间；
（Ⅱ）先判断出f（x）是偶函数，只讨论x＞0的情况，再通过讨论k的取值范围，最后确定．

解答： 解：（Ⅰ）由k=e得：f（x）=e^x-ex，
∴f′（x）=e^x-e，
由f′（x）=e^x-e＞0得x＞1，
由f′（x）=e^x-e＜0得x＜1；
∴f（x）的单调增区间为：（1，+∞），
f（x）的单调减区间为：（-∞，1）；
（Ⅱ）∵f（|x|）=e^|e|-k|x|，而f（|-x|）=f（|x|），
∴f（|x|）为偶函数，
∴若k＞0，对于任意 x∈R，f（|x|）＞0恒成立，等价于f（x）＞0对x≥0恒成立，
而f′（x）=e^x-k，
①当k∈（0，1]时，f′（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0），
此时f（x）在[0，+∞）上单调递增，
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．
②当k∈（1，+∞）时，由f′（x）=e^x-k=0，解得：x=lnk，
∴在（0，lnk）上，f（x）单调递减，在（lnk，+∞）上，f（x）单调递增，
∴f（x）_min=f（lnk）=k-klnk，
由题意得：k-klnk＞0，∵k＞1，∴解得：1＜k＜e；
由①②得：0＜k＜e．

点评：本题属于利用导数来研究函数的综合问题，有一定难度，解题过程渗透了分类讨论思想，解题时小心谨慎以防出错．