Question

如图所示，某几何体的直观图、侧视图与俯视图如图所示，正视图为矩形，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求平面BFD与平面ABE所成的锐二面角的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接AC，交BD于点G，由线面垂直得CE⊥BF，由已知条件推导出FG∥AE，由此能证明AE∥平面BFD．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BFD与平面ABE所成的锐二面角的大小．

解答： （1）证明：连接AC，交BD于点G，
∵ABCD为矩形，∴G为AC的中点，
∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF，
由三视图知BC=BE=2，∴F是EC的中点，
连接FG，得FG∥AE，
∵AE不包含于平面BFD，FG?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知B（2，0，0），F（1，0，1），D（0，2，2），
则

FB

=（1，0，-1），

BD

=(-2，2，2)，
设平面FBD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • FB =x-z=0 n • BD =-2x+2y+2z=0

，
令x=1，得

n

=(1，0，1)，
又平面ABE的法向量

m

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

1× 2

=

2

2

，
∴平面BFD与平面ABE所成的锐二面角为

π

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查锐二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．