Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D为AB的中点，且CD⊥DA₁．
（Ⅰ）求证：平面A₁B₁B⊥平面ABC；
（2）求多面体DBC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出CD⊥AB，CD⊥DA₁，由此能证明平面A₁B₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）V多面体DBC-A1B1C1=V棱柱ABC-A1B1C1-V棱锥A1-ADC，由此能求出结果．

解答： （Ⅰ）证明：∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB，又CD⊥DA₁，
∴CD⊥面AA₁B₁B，
又∵CD?平面ABC，∴平面A₁B₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D为AB的中点，且CD⊥DA₁，
∴V多面体DBC-A1B1C1=V棱柱ABC-A1B1C1-V棱锥A1-ADC
=S△ABC•|AA1|-

1

3

S△ADC•|AA1|
=S△ABC•|AA1|-

1

3

×

1

2

×S△ABC×|AA1|
=

5

6

 S△ABC•|AA1|
=

5

6

×

1

2

×2×2×2=

10

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查多面体面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．