题目内容
已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使（2x1-x2）（x1-2x2）=
成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）求使
+
-2的值为整数的实数k的整数值；
（3）若k=-2，λ=
，试求λ的值．
（1）是否存在实数k，使（2x1-x2）（x1-2x2）=
| 1 |
| 2 |
（2）求使
| x1 |
| x2 |
| x2 |
| x1 |
（3）若k=-2，λ=
| x1 |
| x2 |
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系,二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2=
，然后把x1+x2、x1x2代入（2x1-x2）（x1-2x2）=
中，进而可求k的值．
（2）根据
+
-2=
-4 为整数，且k＜0，求得整数k的值．
（3）由k=-2，λ=
，x1+x2=1，x1x2=
=
，可得
=
，由此求得λ 的值．
| k+1 |
| 4k |
| 1 |
| 2 |
（2）根据
| x1 |
| x2 |
| x2 |
| x1 |
| 4 |
| k+1 |
（3）由k=-2，λ=
| x1 |
| x2 |
| k+1 |
| 4k |
| 1 |
| 8 |
| λ |
| (λ+1)2 |
| 1 |
| 8 |
解答：
解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，
∴△=b2-4ac=16k2-4×4k（k+1）=-16k≥0，且4k≠0，解得k＜0．
∵x1、x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，
根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2=
，
∴（2x1-x2）（x1-2x2）=2x12-4x1x2-x1x2+2x22=2（x1+x2）2-9x1x2=2×12-9×
=2-
，
令2-
=
，求得k=-3．
（2）由于
+
-2=
-2=
-2=
-4 为整数，且k＜0，
∴k=-2，-3，-5．
（3）∵k=-2，λ=
，x1+x2=1，∴λx2+x2=1，x2=
，x1=
．
再根据x1x2=
=
，可得
=
，求得λ=3±2
．
∴△=b2-4ac=16k2-4×4k（k+1）=-16k≥0，且4k≠0，解得k＜0．
∵x1、x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，
根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2=
| k+1 |
| 4k |
∴（2x1-x2）（x1-2x2）=2x12-4x1x2-x1x2+2x22=2（x1+x2）2-9x1x2=2×12-9×
| k+1 |
| 4k |
| 9(k+1) |
| 4k |
令2-
| 9(k+1) |
| 4k |
| 1 |
| 2 |
（2）由于
| x1 |
| x2 |
| x2 |
| x1 |
| x12+x22 |
| x1•x2 |
| (x1+x2)2-2x1•x2 |
| x1•x2 |
| 4 |
| k+1 |
∴k=-2，-3，-5．
（3）∵k=-2，λ=
| x1 |
| x2 |
| 1 |
| λ+1 |
| λ |
| λ+1 |
再根据x1x2=
| k+1 |
| 4k |
| 1 |
| 8 |
| λ |
| (λ+1)2 |
| 1 |
| 8 |
| 2 |
点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负号的变化关系、以及完全平方公式的使用，属于中档题．
练习册系列答案
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