Question

13．已知函数f（x）=x³+2bx²+cx-2的图象在与x轴交点处切线方程是y=5x-10
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{3}$mx，若函数g（x）存在极值，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（2）=0和f′（2）=5可得关于b，c的两个方程，解出b，c即可．
（2）转化为g′（x）=0有实根．根据判别式求出对应的根，再进行验证即可．

解答 解：（1）由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0，
即4b+c+3=0．①
f′（x）=3x²+4bx+c，由已知，f′（2）=12+8b+c=5．
得8b+c+7=0．②
联立①、②，解得c=1，b=-1，
于是函数解析式为f（x）=x³-2x²+x-2．
（2）g（x）=x³-2x²+x-2+$\frac{1}{3}$mx，
g′（x）=3x²-4x+1+$\frac{m}{3}$，令g′（x）=0．
当函数有极值时，△≥0，方程3x²-4x+1+$\frac{m}{3}$=0有实根，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g′（x）=0有实根x=$\frac{2}{3}$，在x=$\frac{2}{3}$左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．
②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，
x₁=$\frac{1}{3}$（2-$\sqrt{1-m}$），x₂=$\frac{1}{3}$（2+$\sqrt{1-m}$），
当x变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）		极大值		极小值

故在m∈（-∞，1）时，函数g（x）有极值．

点评 本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．