Question

6．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线$\frac{{x}^{2}}{m}$+y²=1的焦距为2$\sqrt{5}$或2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据题意，由等比数列的性质可得m²=4×9=36，解可得m的值，分2种情况讨论：当m=6时，圆锥曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+y²=1，为椭圆，当m=-6时，圆锥曲线的方程为y²-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1，为双曲线，由椭圆和双曲线的几何性质分析可得c的值，进而由焦距的定义可得答案．

解答 解：根据题意，实数4，m，9构成一个等比数列，则有m²=4×9=36，
则m=±6，
当m=6时，圆锥曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+y²=1，为椭圆，
其中a=$\sqrt{6}$，b=1，则c=$\sqrt{6-1}$=$\sqrt{5}$，
则其焦距2c=2$\sqrt{5}$，
当m=-6时，圆锥曲线的方程为y²-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1，为双曲线，
其中a=1，b=$\sqrt{6}$，则c=$\sqrt{6+1}$=$\sqrt{7}$，
则其焦距2c=2$\sqrt{7}$，
综合可得：圆锥曲线$\frac{{x}^{2}}{m}$+y²=1的焦距为2$\sqrt{5}$或2$\sqrt{7}$；
故答案为：2$\sqrt{5}$或2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查椭圆、双曲线的几何性质，关键是由等比数列的性质求出m的值，确定圆锥曲线的方程．