Question

设F₁，F₂为椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0与双曲线C₂的公共点左右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF₁F₂是以线段MF₁为底边的等腰三角形，且|MF₁|=2．若椭圆C₁的离心率e∈[

3

8

，

4

9

]，则双曲线C₂的离心率取值范围是（　　）

• A、[

  5

  4

  ，

  5

  3

  ]
• B、[

  3

  2

  ，+∞）
• C、（1，4]
• D、[

  3

  2

  ，4]

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：

分析：由已知条件推导出|MF₂|=|F₁F₂|=2c，

2c

2+2c

∈[

3

8

，

4

9

]，由此能求出双曲线C₂的离心率的取值范围．

解答： 解：∵F₁，F₂为椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与双曲线C₂的公共点左右焦点，
△MF₁F₂是以线段MF₁为底边的等腰三角形，且|MF₁|=2，
∴|MF₂|=|F₁F₂|=2c，
∵椭圆C₁的离心率e∈[

3

8

，

4

9

]，
∴当e=

3

8

时，

2c

2+2c

=

3

8

，解得c=

3

5

，
双曲线C₂的离心率e=

2× 3 5

2-2× 3 5

=

3

2

．
当e=

4

9

时，

2c

2+2c

=

4

9

，解得c=

4

5

，
双曲线C₂的离心率e=

2× 4 5

2-2× 4 5

=4．
∴双曲线C₂的离心率取值范围是[

3

2

，4]．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、椭圆性质的灵活运用．