Question

3．已知sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，tan（α+β）=-3，π＜α＜$\frac{3π}{2}$，0＜β＜π．
（Ⅰ）求tanβ；
（Ⅱ）求2α+β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）-α]得值．
（Ⅱ）先求得tan（2α+β）=tan[（α+β）+α]的值，再根据2π+$\frac{π}{4}$＜2α+β＜$\frac{7π}{2}$，求得2α+β得值．

解答 解：（Ⅰ）因为π＜α＜$\frac{3π}{2}$，∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{2}{\sqrt{5}}$，∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{2}$，
∴tanβ=tan[（α+β）-α]=$\frac{tan（α+β）-tanα}{1+tan（α+β）•tanα}$=$\frac{-3-\frac{1}{2}}{1+（-3）•（-\frac{1}{2}）}$=7．
（Ⅱ）因为tan（α+β）=-3，tanα=$\frac{1}{2}$，所以tan（2α+β）=tan[（α+β）+α]=$\frac{tan（α+β）+tanα}{1-tan（α+β）tanα}$=$\frac{-3+\frac{1}{2}}{1-（-3）•\frac{1}{2}}$=-1．
由（Ⅰ）知tanβ＞1，所以$\frac{π}{4}$＜β＜$\frac{π}{2}$．
又因为π＜α＜$\frac{3π}{2}$，所以2π+$\frac{π}{4}$＜2α+β＜$\frac{7π}{2}$，所以2α+β=2π+$\frac{3π}{4}$=$\frac{11π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式的应用，属于中档题．