Question

14．设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数$f（x）={lg^{\frac{1+ax}{1+2x}}}$是奇函数
（1）求实数b的取值范围；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义，求出a，可得函数的解析式，即可求实数b的取值范围；
（2）利用导数的方法，判断函数f（x）的单调性．

解答 解：（1）∵定义在区间（-b，b）内的函数$f（x）={lg^{\frac{1+ax}{1+2x}}}$是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），化简可得a²x²=4x²，
∵a≠2，∴a=-2，
∴f（x）=lg$\frac{1-2x}{1+2x}$，
由$\frac{1-2x}{1+2x}$＞0，可得-$\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}≤-b＜b≤\frac{1}{2}$，
∴b∈（0，$\frac{1}{2}$]；
（2）y=$\frac{1-2x}{1+2x}$，则y′=$\frac{-2（1+2x）-2（1-2x）}{（1+2x）^{2}}$=$\frac{-4}{（1+2x）^{2}}$＜0，
∴函数f（x）在区间（-b，b）内单调递减．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．