Question

在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用ξ表示，如果ξ的值不低于DE分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮的方案有以下两种：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投；方案2：都在P处投篮．甲同学在AD₁E处投篮的命中率为

2

3

，在B处投篮的命中率为0.8．
（Ⅰ）甲同学选择方案1．①求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率；②求甲同学测试结束后所得总分ξ的分布列和数学期望Eξ；
（Ⅱ）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）①在A处投篮命中记作A，不中记作

.

A

；在B处投篮命中记作B，不中记作

.

B

；甲同学测试结束后所得总分为4可记作事件

.

A

BB，由此能求出甲同学测试结束后所得总分等于4的概率．
②ξ的所有可能取值为0，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅱ）甲同学选择方案1通过测试的概率为P₁，选择方案2通过测试的概率为P₂，分别求出p₁，p₂，由此得到甲同学应选择方案2通过测试的概率更大．

解答： 20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）①在A处投篮命中记作A，不中记作

.

A

；
在B处投篮命中记作B，不中记作

.

B

；
甲同学测试结束后所得总分为4可记作事件

.

A

BB，
则P(

.

A

BB)=P(

.

A

)P(B)P(B)=0.5×0.8×0.8=0.32…（2分）
②ξ的所有可能取值为0，2，3，4，
P(ξ=2)=P(

.

A

B

.

B

)+P(

.

A

.

B

B)=P(

.

A

)P(B)P(

.

B

)+P(

.

A

)P(

.

B

)P(B)
=0.5×0.8×（1-0.8）+0.5×（1-0.8）×0.8=0.16，
P（ξ=3）=P（A）=0.5，
P(ξ=4)=P(

.

A

BB)=P(

.

A

)P(B)P(B)=0.5×0.8×0.8=0.32，
P（ξ=0）=1-0.16-0.5-0.32=0.02，…（6分）
∴ξ的分布列为：

ξ	0	2	3	4
P	0.02	0.16	0.5	0.32

Eξ=0×0.02+2×0•16+3×0.5+4×0.32=3.1．
（Ⅱ）甲同学选择方案1通过测试的概率为P₁，
选择方案2通过测试的概率为P₂，
P₁=P（ξ≥3）=0.5+0.32=0.82，
P₂=P（

.

B

BB）+P（B

.

B

B）+P（BB）=2×0.8×0.2+0.8×0.8=0.896，
∵P₂＞P₂，
∴甲同学应选择方案2通过测试的概率更大．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．