Question

20．如图，半径为1的扇形中心角为$\frac{π}{3}$，一个矩形的一边在扇形的半径上，求此矩形的最大面积．

Answer 1

分析 如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．

解答 解：如图，在Rt△OCB中，设∠COB=α，则OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中，$\frac{DA}{OA}$=tan60°=$\sqrt{3}$，所以OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．
∴AB=OB-OA=cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα）sinα
=sinαcosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin²α
=$\frac{1}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α+$\frac{1}{2}$cos2α）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
由于0＜α＜$\frac{π}{3}$，所以当2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$时，S_最大=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
因此，当α=$\frac{π}{6}$时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简，属于中档题．