Question

17．若不等式a^|x|＞x²-$\frac{1}{2}$对任意x∈[-1，1]都成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，1）∪（1，+∞）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）∪（1，2）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）∪（1，2）

Answer 1

分析 设f（x）=a^|x|，g（x）=x²-$\frac{1}{2}$，根据不等式的大小关系转化为两个函数的图象关系，利用分类讨论以及数形结合进行求解即可．

解答 解：设f（x）=a^|x|，g（x）=x²-$\frac{1}{2}$，
当x∈[-1，1]时，g（x）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∵f（x）和g（x）都是偶函数，
∴只要保证当x∈[0，1]时，不等式a^|x|＞x²-$\frac{1}{2}$恒成立即可．
当x∈[0，1]时，f（x）=a^x，
若a＞1时，f（x）=a^x≥1，此时不等式a^|x|＞x²-$\frac{1}{2}$恒成立，满足条件．
若0＜a＜1时，f（x）=a^x为减函数，而g（x）为增函数，
此时要使不等式a^|x|＞x²-$\frac{1}{2}$恒成立，则只需要f（1）＞g（1）即可，
即a＞1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
此时$\frac{1}{2}$＜a＜1，
综上$\frac{1}{2}$＜a＜1或a＞1，
故选：A．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件构造函数，转化为两个函数的函数值的大小关系，利用数形结合是解决本题的关键．