Question

9．若0＜y≤x＜$\frac{π}{2}$且tanx=3tany，则x-y的最大值为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 要使x-y最大，只需tan（x-y）最大，利用基本不等式求得tan（x-y）的最大值，可得x-y的最大值．

解答 解：∵0＜y≤x＜$\frac{π}{2}$且tanx=3tany，∴0≤x-y＜$\frac{π}{2}$，要使x-y最大，只需tan（x-y）最大．
又tan（x-y）=$\frac{tanx-tany}{1+tanxtany}$=$\frac{2tany}{1+{3tan}^{2}y}$=$\frac{2}{\frac{1}{tany}+3tany}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，当且仅当tany=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，等号成立，
此时，y=$\frac{π}{6}$，tanx=$\sqrt{3}$，x=$\frac{π}{3}$，故x-y的最大值为$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题．