Question

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA=SC，SA⊥BD．
（1）求证：SO⊥平面ABCD；
（2）设BAD=60°，AB=SD=2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A-PCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面垂直的判定定理，容易判断BD⊥平面SAC，所以BD⊥SO，而SO又是等腰三角形底边AC的高，所以SO⊥AC，从而得到SO⊥平面ABCD；
（2）取DO中点E，并连接PE，容易说明PE是三棱锥P-ACD底面ACD的高，且PE=

1

2

SO，根据已知条件能够求出SO，及△ACD的面积，根据三棱锥的体积公式即可求得三棱锥P-ACD的体积，而V_{三棱锥A-PCD}=V_{三棱锥P-ACD}，这样即可求出三棱锥A-PCD的体积．

解答： 解：（1）证明：∵底面ABCD是菱形；
∴对角线BD⊥AC；
又BD⊥SA，SA∩AC=A；
∴BD⊥平面SAC，SO?平面SAC；
∴BD⊥SO，即SO⊥BD；
又SA=SC，O为AC中点；
∴SO⊥AC，AC∩BD=O；
∴SO⊥平面ABCD；
（2）如图，连接PO；
∵SB∥平面APC，SB?平面SBD，平面SBD∩平面APC=PO；
∴SB∥PO；
在△SBD中，O是BD的中点，PO∥SB，∴P是SD的中点；
取DO中点，并连接PE，则PE∥SO，SO⊥底面ACD；
∴PE⊥底面ACD，且PE=

1

2

SO；
根据已知条件，Rt△ADO中AD=2，∠DAO=30°，∴DO=1；
∴在Rt△SDO中，SD=2，SO=

4-1

=

3

；
∴PE=

3

2

；
又S△ACD=

1

2

×2×2×sin120°=

3

；
∴V_{三棱锥A-PCD}=V_{三棱锥P-ACD}=

1

3

×

3

×

3

2

=

1

2

．

点评：考查线面垂直的判定定理，菱形对角线的性质，线面平行的性质定理，以及三角形的面积公式，三棱锥的体积公式．