Question

f（x）=（x-a）²lnx，a∈R．
（1）x=e是y=f（x）极值点，求a．
（2）求a范围使得对任意x∈（0，3e]恒有f（x）≤4e²．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,综合题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，令f′（e）=0，即可解得a；
（2）对x∈（0，3e]进行分区间讨论，求出f（x）=（x-a）²lnx的最大值，令最大值小于4e²，解不等式求出a的范围．

解答： 解：（1）f（x）=（x-a）²lnx的导数为f′（x）=2（x-a）lnx+（x-a）²•

1

x

，
由于x=e是y=f（x）的极值点，则f′（e）=0，即有2（e-a）+

(e-a)2

e

=0，
解得，a=e或3e，
经检验，a=e或a=3e符合题意，
所以a=e，或a=3e；
（2）①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e²成立，
②当1＜x≤3e时，由题意，首先有f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²，
解得3e-

2e

ln(3e)

≤a≤3e+

2e

ln(3e)

，
设f（x）=（x-a）²lnx，
则f′（x）=2（x-a）lnx+（x-a）²•

1

x

=（x-a）（2lnx+1-

a

x

），
令h（x）=2lnx+1-

a

x

，
则h（1）=1-a＜0，h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1-

a

3e

≥2ln3e+1-

3e+ 2e ln(3e)

3e

=2（ln3e-

1

3 ln(3e)

）＞0，
又h（x）在（0，+∞）内单调递增，
∴函数h（x）在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x₀
则1＜x₀＜3e，1＜x₀＜a，
从而当x∈（0，x₀）时，f′（x）＞0，
当x∈（x₀，a）时，f′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x₀）内是增函数，
在（x₀，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数
∴要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立，
只要有：

f(x0)=(x0-a)2lnx0≤4e2 f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2

，
有h（x₀）=2lnx₀+1-

a

x0

=0，得a=2x₀lnx₀+x₀，
将它代入f（x₀）=（x₀-a）2lnx₀≤4e²得4x₀²ln³x₀≤4e²
又x₀＞1，注意到函数4x²ln³x在（1，+∞）上是增函数，故1＜x₀≤e，
再由a=2x₀lnx₀+x₀，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e，
由f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²解得3e-

2e

ln3e

≤a≤3e+

2e

ln3e

，
∴得3e-

2e

ln3e

≤a≤3e，
综上，a的取值范围为3e-

2e

ln3e

≤a≤3e．

点评：本题考查函数的极值的概念，导数运算法则，导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力，解题的关键是准确求出导数，利用二次求导和函数零点分区间讨论导函数的符号，得到原函数的单调性，本题属于难题．