Question

已知F₁，F₂分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦点，直线l：x=1过椭圆C的右焦点F₂且与椭圆C在x轴上方的交点为M，若

MF1

•

MF2

=

9

4

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）以M为圆心的动圆与x轴分别交于两点A B，延长MA，MB分别交椭圆C于D、E两点，试判断直线DE的斜率是否为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由条件可得c=1，再由向量的数量积的定义，可得M（1，

3

2

），代入椭圆方程和a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）以M为圆心的动圆与x轴分别交于两点A、B，则直线MA，MB关于直线x=1对称，则它们的斜率互为相反数．设出直线MA的方程，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，求出D的横坐标，进而得到纵坐标，将k换成-k，即得E的坐标，再由两点的斜率公式，即可得到定值．

解答： 解：（1）直线l：x=1过椭圆C的右焦点F₂，则c=1，
由于

MF1

•

MF2

=

9

4

，则有|

MF1

|•|

MF2

|•cos∠F₁MF₂=

9

4

，
即|

MF2

|²=

9

4

，即为|

MF2

|=

3

2

，即有M（1，

3

2

），
由a²-b²=1，

1

a2

+

9

4b2

=1，解得，a=2，b=

3

，
则椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）以M为圆心的动圆与x轴分别交于两点A、B，
则直线MA，MB关于直线x=1对称，则它们的斜率互为相反数．
设直线MA：y-

3

2

=k（x-1），代入椭圆方程，消去y，得
（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（

3

2

-k）²-12=0，
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
则有1+x₁=

4k(2k-3)

3+4k2

，即有x₁=

4k2-12k-3

3+4k2

，则y₁=

-6k2-6k+ 9 2

3+4k2

，
将k换成-k，即有x₂=

4k2+12k-3

3+4k2

，y₂=

-6k2+6k+ 9 2

3+4k2

，
则有直线DE的斜率为

y2-y1

x2-x1

=

6k+6k

12k+12k

=

1

2

．
即直线DE的斜率为定值

1

2

．

点评：本题主要考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．