Question

1．已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知a，b∈R，当$0＜x＜\frac{1}{2}$时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合记为A；当x∈[-2，2]时，使g（x）=f（x）-bx是单调函数的b的集合记为B．求A∩∁_RB（R为全集）．

Answer 1

分析 （1）令x=-1，y=1，利用f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），即可求得f（0）的值；
（2）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1），结合f（0）=-2，可求f（x）的解析式；
（3）根据题意，将f（x）+3＜2x+a变形可得x²-x+1＜a，分析x²-x+1的最大值，可得a的范围，即集合A；由（2）可得g（x）的解析式，结合二次函数的性质可得b的取值范围，即可得集合B，进而可得C_RB；从而可求A∩C_RB．

解答 解：（1）根据题意，在f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）中，
令x=-1，y=1，可得f（0）-f（1）=-1（-1+2+1），
又由f（1）=0，则有f（0）=-2；
（2）在f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）中，
令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1）
又由f（0）=-2，则f（x）=x²+x-2；
（3）不等式f（x）+3＜2x+a，等价于x²+x-2+3＜2x+a，即x²-x+1＜a，
若不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，则有x²-x+1＜a恒成立，
又由$0＜x＜\frac{1}{2}$，则$\frac{3}{4}$＜x²-x+1＜1，必有a＞1；
故A={a|a≥1}；
g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2，
若g（x）在[-2，2]上是单调函数，必有$\frac{a-1}{2}$≤-2或$\frac{a-1}{2}$≥2成立，
解可得a≤-3，或a≥5．
故B={a|a≤-3，或a≥5}，则C_RB={a|-3＜a＜5}
故A∩C_RB={a|1≤a＜5}．

点评 本题考查抽象函数的运用，涉及二次函数的性质，此类问题一般用特殊值法分析，解题的关键是利用二次函数的性质化简集合A，B．