Question

17．已知函数y=f（x）满足f（x-2）=x²-4x+9．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=f（x）-bx，若当$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;1}]$时，g（x）的最大值为$\frac{11}{2}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）运用配方法，令t=x-2，可得f（t）的解析式，即有f（x）的解析式；
（2）求得g（x）=f（x）-bx=x²-bx+5，由于f（x）的图象开口向上，可得f（x）的最大值在区间的端点处取得，分别考虑，解方程可得b的值，注意检验对称轴和区间的关系．

解答 解：（1）f（x-2）=x²-4x+9=（x-2）²+5，
令t=x-2，则f（t）=t²+5，
即有f（x）=x²+5；
（2）g（x）=f（x）-bx=x²-bx+5，
当$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;1}]$时，g（x）的最大值为$\frac{11}{2}$，
由于f（x）的图象开口向上，可得f（x）的最大值在区间的端点处取得，
若f（1）取得最大值，即为1-b+5=$\frac{11}{2}$，
解得b=$\frac{1}{2}$，
则f（x）=x²-$\frac{1}{2}$x+5，对称轴为x=$\frac{1}{4}$，1与对称轴的距离大于$\frac{1}{2}$与对称轴的距离，
则f（1）取得最大值成立；
若f（$\frac{1}{2}$）取得最大值，即为$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$b+5=$\frac{11}{2}$，
解得b=-$\frac{1}{2}$，
则f（x）=x²+$\frac{1}{2}$x+5，对称轴为x=-$\frac{1}{4}$，1与对称轴的距离大于$\frac{1}{2}$与对称轴的距离，
则f（1）取得最大值成立，故该情况不成立．
综上可得，b=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用换元法，考查二次函数在闭区间上的最值的求法，注意考虑对称轴与区间的关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．