Question

17．已知函数f（x）=a|x-b|+1，其中a，b∈R．
（1）若a＜0，b=1，求函数f（x）的所有零点之和；
（2）记函数g（x）=x²-f（x）．
       ①若a＜0，b=0，解不等式g（2x+1）≤g（x-1）；
       ②若b=1，g（x）在[0，2]上的最大值为0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断f（x）的单调性和对称轴，得出零点个数和零点之和；
（2）①根据g（x）的奇偶性和单调性列出不等式得出x的范围；
②讨论a的范围，判断g（x）的单调性，根据最大值验证或列出不等式得出a的范围．

解答 解：（1）f（x）=a|x-1|+1=$\left\{\begin{array}{l}{a-ax+1，x≤1}\\{ax-a+1，x＞1}\end{array}\right.$，
∵a＜0，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
又f（1）=1，
∴f（x）在（-∞，1）和（1，+∞）上各有1个零点，
∵f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）的所有零点之和为2．
（2）①b=0时，f（x）=a|x|+1，
∴g（x）=x²-a|x|-1，
∴g（-x）=g（x），即g（x）是偶函数，
∵a＜0，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∵g（2x+1）≤g（x-1），
∴|2x+1|≤|x-1|，解得-2≤x≤0．
原不等式的解集为[-2，0]；
②b=1时，g（x）=x²-a|x-1|-1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a-1，x≤1}\\{{x}^{2}-ax+a-1，x＞1}\end{array}\right.$，
若a=0，则g（x）=x²-1，则g（x）在[0，2]上单调递增，
∴g（x）在[0，2]上的最大值为g（2）=3，不符合题意；
若a＞0，则g（x）在[0，1]上单调递增，g（1）=0，
当x＞1时，g（x）的对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
∵g（x）在[1，2]上最大值为0，且g（1）=0，
∴$\frac{a}{2}$≥$\frac{3}{2}$，即a≥3．
若a＜0，则g（x）在[1，2]上单调递增，
∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（2）＞g（1）=0，不符合题意．
综上，a≥3．

点评 本题考查了函数零点与单调性，奇偶性的关系，函数单调性的判断与最值计算，属于中档题．