Question

5．关于函数f（x）=$\frac{2}{x}$+lnx，下列说法错误的是（　　）

• A． x=2是f（x）的极小值点
• B． 函数y=f（x）-x有且只有1个零点
• C． 存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立
• D． 对任意两个不相等的正实数x₁，x₂，若f（x₁）=f（x₂），则x₁+x₂＞4

Answer 1

分析 对选项分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：f′（x）=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，∴（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，
∴x=2是f（x）的极小值点，即A正确；
y=f（x）-x=$\frac{2}{x}$+lnx-x，∴y′=$\frac{{-x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$＜0，
函数在（0，+∞）上单调递减，x→0，y→+∞，
∴函数y=f（x）-x有且只有1个零点，即B正确；
f（x）＞kx，可得k＜$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{lnx}{x}$，
令g（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{lnx}{x}$，
则g′（x）=$\frac{-4+x-xlnx}{{x}^{3}}$，
令h（x）=-4+x-xlnx，则h′（x）=-lnx，
∴（0，1）上，函数单调递增，（1，+∞）上函数单调递减，
∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，
∴g（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{lnx}{x}$在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；
对任意两个正实数x₁，x₂，且x₂＞x₁，
（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，
若f（x₁）=f（x₂），则x₁+x₂＞4，正确．
故选：C．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．