Question

7．已知圆C经过A（-1，1），且圆心坐标为C（1，1）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）设直线l经过点（2，2），且l与圆C相交所得的弦长为2$\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）圆半径r=|AC|，由此能求出圆C的标准方程．
（2）点（2，2）到圆心C（1，1）的距离d=$\sqrt{2}$，从而点（2，2）在圆C内，当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=2，此时弦长为2$\sqrt{3}$，成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为kx-y-2k+2=0，圆心到直线l的距离d=$\frac{|1-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{4-3}$=1，求出直线l的方程为y=2．由此能求出结果．

解答 解：（1）∵圆C经过A（-1，1），且圆心坐标为C（1，1）．
∴圆半径r=|AC|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（1-1）^{2}}$=2，
∴圆C的标准方程为（x-1）²+（y-1）²=4．
（2）点（2，2）到圆心C（1，1）的距离d=$\sqrt{（2-1）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴点（2，2）在圆C内，
∵直线l经过点（2，2），且l与圆C相交所得的弦长为2$\sqrt{3}$，
∴当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=2，此时弦长为2$\sqrt{3}$，成立；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0，
圆心到直线l的距离d=$\frac{|k-1-2k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|1-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{4-3}$=1，解得k=0，
∴直线l的方程为y=2．
综上，直线l的方程为x=2或y=2．

点评 本题考查圆的方程和直线方程的求法，考查圆、直线方程、两点间距离公式、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．