Question

9．双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M是双曲线E的渐近线上的一点，MF₁⊥MF₂，sin∠MF₁F₂=$\frac{1}{3}$，则该双曲线的离心率为$\frac{9}{7}$．

Answer 1

分析 由题意设M是渐近线y=$\frac{b}{a}$x上的一点，∠MOF₂=2∠MF₁F₂，求出tan∠MOF₂=$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，可得$\frac{b}{a}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，即可求出e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{32}{49}}$=$\frac{9}{7}$．

解答 解：由题意，设M是渐近线y=$\frac{b}{a}$x上的一点，∠MOF₂=2∠MF₁F₂，
∵sin∠MF₁F₂=$\frac{1}{3}$，∴tan∠MF₁F₂=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，∴tan∠MOF₂=$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{32}{49}}$=$\frac{9}{7}$，
故答案为$\frac{9}{7}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．