Question

17．设集合A_2n={1，2，3，…，2n}（n∈N^*，n≥2）．如果对于A_2n的每一个含有m（m≥4）个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于4n+1，称正整数m为集合A_2n的一个“相关数”．
（Ⅰ）当n=3时，判断5和6是否为集合A₆的“相关数”，说明理由；
（Ⅱ）若m为集合A_2n的“相关数”，证明：m-n-3≥0；
（Ⅲ）给定正整数n．求集合A_2n的“相关数”m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据相关数的定义判断即可；
（Ⅱ）根据相关数的定义得到m≤n+2时，m一定不是集合A_2n的“相关数”，得到m≥n+3，从而证明结论；
（Ⅲ）根据m≥n+3，将集合A_2n的元素分成n组，对A_2n的任意一个含有n+3个元素的子集p，必有三组${C}_{{i}_{1}}$，${C}_{{i}_{2}}$，${C}_{{i}_{3}}$同属于集合P，不妨设${D}_{{j}_{4}}$与${C}_{{i}_{3}}$无相同元素，此时这4个元素之和为[i₁+（2n+1-i₁）+（2n-j₄）]=4n+1，从而求出m的最小值．

解答 解：（Ⅰ）当n=3时，A₆={1，2，3，4，5，6}，4n+1=13，
①对于A₆的含有5个元素的子集{2，3，4，5，6}，
因为2+3+4+5＞13，
所以5不是集合A₆的“相关数”；
②A₆的含有6个元素的子集只有{1，2，3，4，5，6}，
因为1+3+4+5=13，
所以6是集合A₆的“相关数”．
（Ⅱ）考察集合A_2n的含有n+2个元素的子集B={n-1，n，n+1，…，2n}，
B中任意4个元素之和一定不小于（n-1）+n+（n+1）+（n+2）=4n+2．
所以n+2一定不是集合A_2n的“相关数”；
所以当m≤n+2时，m一定不是集合A_2n的“相关数”，
因此若m为集合A_2n的“相关数”，必有m≥n+3，
即若m为集合A_2n的“相关数”，必有m-n-3≥0；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 m≥n+3，
先将集合A_2n的元素分成如下n组：
C_i=（i，2n+1-i），（1≤n），
对A_2n的任意一个含有n+3个元素的子集p，
必有三组${C}_{{i}_{1}}$，${C}_{{i}_{2}}$，${C}_{{i}_{3}}$同属于集合P，
再将集合A_2n的元素剔除n和2n后，分成如下n-1组：
D_j=（j，2n-j），（1≤j≤n-1），
对于A_2n的任意一个含有n+3个元素的子集P，必有一组${D}_{{j}_{4}}$属于集合P，
这一组${D}_{{j}_{4}}$与上述三组${C}_{{i}_{1}}$，${C}_{{i}_{2}}$，${C}_{{i}_{3}}$中至少一组无相同元素，
不妨设${D}_{{j}_{4}}$与${C}_{{i}_{3}}$无相同元素．
此时这4个元素之和为[i₁+（2n+1-i₁）+（2n-j₄）]=4n+1，
所以集合A_2n的“相关数”m的最小值为n+3．

点评 本题考查了相关数的定义及其应用，考查新定义的理解，是一道中档题．