Question

4．已知等差数列{a_n}满足a₄-a₂=2，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}+\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}-2$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设出等差数列的公差，由已知列式求得首项和公差，则{a_n}的通项公式可求；
（2）把{a_n}的通项公式代入${b_n}=\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}+\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}-2$，整理后利用裂项相消法求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₁，a₃，a₇成等比数列，得$\left\{{\begin{array}{l}{2d=2}\\{{a_3}^2={a_1}•{a_7}}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{d=1}\\{{{（{{a_1}+2d}）}^2}={a_1}•（{{a_1}+6d}）}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{d=1}\\{{a_1}=2}\end{array}}\right.$．
∴a_n=n+1；
（2）由（1）可知，${b_n}=\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}+\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}-2$=$\frac{n+1}{n}+\frac{n}{n+1}-2$
=$\frac{（n+1）^{2}+{n}^{2}-2{n}^{2}-2n}{n（n+1）}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴${S_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等比数列的性质，考查等差数列通项公式的求法，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．