Question

20．已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆E的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆E上任意一点到两个焦点的距离之和为2$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l：y=2x+m与椭圆E相交于M，N两点，求△MON面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，焦距为2c，根据题意列方程组求出a，b即可；
（2）联立方程组消元，令△＞0求出m的范围，根据根与系数的关系和弦长公式得出MN，再计算原点到直线l的距离，得出三角形的面积关于m的函数，从而求得面积的最大值．

解答 解：（1）设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，焦距为2c，
由题意可知$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{2a=2\sqrt{2}}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=2x+m}\end{array}\right.$，消元得：9x²+8mx+2m²-2=0，
∵椭圆与直线交于M，N两点，
∴△=64m²-36（2m²-2）=72-8m²＞0，
∴-3＜m＜3．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{8m}{9}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{9}$，
∴MN=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{\frac{64{m}^{2}}{81}-\frac{8（{m}^{2}-1）}{9}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{9}$•$\sqrt{9-{m}^{2}}$，
又原点O到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}$•MN•d=$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{10}}{9}$•$\sqrt{9-{m}^{2}}$×$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{9-{m}^{2}}}{9}•|m|$=$\frac{\sqrt{2}}{9}•$$\sqrt{9{m}^{2}-{m}^{4}}$，
令f（m）=9m²-m⁴=-（m²-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{4}$，
∵-3＜m＜3，∴0≤m²＜9，
∴当m²=$\frac{9}{2}$时，f（m）取得最大值$\frac{81}{4}$，
∴S_△MON的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{9}×\sqrt{\frac{81}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，注意弦长公式，根与系数关系的应用，属于中档题．