Question

17．设f（x）=|x-b|+|x+b|．
（1）当b=1时，求f（x）≤x+2的解集；
（2）当x=1时，若不等式f（x）≥$\frac{|a+1|-|2a-1|}{|a|}$对任意实数a≠0恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，-1＜x＜1，x≤-1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；
（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（b）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得b的范围．

解答 解：（1）当b=1时，f（x）=|x-1|+|x+1|，
由f（x）≤x+2得：
$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-1+x+1≤x+2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{1-x+x+1≤x+2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{1-x-x-1≤x+2}\end{array}\right.$，
即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，
解得0≤x≤2，
所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；                       
（2）$\frac{|a+1|-|2a-1|}{|a|}$=|1+$\frac{1}{a}$|-|2-$\frac{1}{a}$|≤|1+$\frac{1}{a}$+2-$\frac{1}{a}$|=3，
当且仅当（1+$\frac{1}{a}$）（2-$\frac{1}{a}$）≤0时，取等号．
由不等式f（x）≥$\frac{|a+1|-|2a-1|}{|a|}$对任意实数a≠0恒成立，
由于x=1，可得|1-b|+|1+b|≥3，
即$\left\{\begin{array}{l}{b≥1}\\{b-1+b+1≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜b＜1}\\{1-b+b+1≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b≤-1}\\{1-b-b-1≥3}\end{array}\right.$，
解得：$b≤-\frac{3}{2}$或$b≥\frac{3}{2}$．
故实数b的取值范围是$（-∞，-\frac{3}{2}]∪[\frac{3}{2}，+∞）$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，同时考查不等式恒成立问题的求法，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．