Question

中心在原点O、焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A，B两点，C是AB的中点，若以AB为直径的圆过圆点，且OC的斜率为

1

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设椭圆的方程为ax²+by²=1（a＞0，b＞0），联立直线与圆的方程

x+y-1=0 ax2+by2=1

，得（a+b）x²-2bx+b-1=0，由已知得a+b=2，

a

b

=

1

2

，由此能求出椭圆的方程．

解答： 解：设椭圆的方程为ax²+by²=1（a＞0，b＞0），
联立直线与圆的方程

x+y-1=0 ax2+by2=1

，消去y，得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），
则x1+x2=

2b

a+b

，x1x2=

b-1

a+b

，
∵以AB为直径的圆过圆点，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂，
∴1-（x₁+x₂）+2x₁x₂=0，
代入，得1-

2b

a+b

+2×

b-1

a+b

=0，
化简，得a+b=2，①
∴x0=

x1+x2

2

=

b

a+b

，y0=1-x0=

a

a+b

，
又OC的斜率为

1

2

，
x0=

x1+x2

2

=

b

a+b

，y0=1-x0=

a

a+b

，
又OC的斜率为

1

2

，
∴

a

b

=

1

2

，②
解①②，得a=

2

3

，b=

4

3

，椭圆的方程是

2

3

x2+

4

3

y2=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．