Question

2014年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行，为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a元（a为常数，2≤a≤5）．设每枚徽章的售价为x元（35≤a≤41），根据市场调查，日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚．
（1）求该商店的日利润L（x）与每枚徽章的售价x的函数关系式；
（2）当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润L（x）最大？并求出L（x）的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出比例系数，利用该商店的日利润L（x）等于销售量与每枚徽章的利润与比例系数乘积，列出函数关系式；
（2）通过x的范围，利用函数的导数，判断函数的单调性，求解当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润L（x）最大，然后求出L（x）的最大值．

解答： 解：（1）该商店的日利润L（x）与每枚徽章的售价x，
日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚，
比例系数为：10e⁴⁰．
该商店的日利润L（x）与每枚徽章的售价x的函数关系式：L(x)=10e40•

x-30-a

ex

（35≤a≤41）；
（2）当35≤x≤40时，L(x)=10e40•

x-30-a

ex

，L′(x)=10e40•

31+a-x

ex

，4≤a≤6，35≤31+a≤37，
因为35≤x≤40，令L′（x）=0得x=a+31
当35≤x≤a+31时L'（x）＞0
当a+31≤x≤40时L'（x）＜0
故L_max（x）=L（a+31）=10e^9-a
当40≤x≤50时，L（x）=（x-30-a）

16000

x2

显然L（x）在40≤x≤50时，
L′（x）=

16000(x2-(x-30-a)2x)

x4

=

16000(60+2a-x)

x3

＞0
所以L（x）在40≤x≤50时为增函数
故40≤x≤50时，L_max（x）=L（50）
又L（a+31）=10e^9-a≥10e³
L（50）=

32

5

（20-a）≤

32×16

5

，
故L（a+31）＞L（50）
于是每件产品的售价x为a+31时才能使L（x）最大，L（x）的最大值为10e^9-a
综上，若2≤a≤4，当每枚徽章的售价为35元时，该商店的日利润L（x）最大，且L(x)max=10(5-a)e5；
若4＜a≤5，当每枚徽章的售价为（a+31）元时，该商店的日利润L（x）最大，且L(x)max=10e9-a．

点评：本题考查函数的实际应用，对数在最值中的应用，考查分析问题解决问题的能力．难度比较大．