Question

已知函数f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin²x
（1）求f（

π

6

）的值
（2）求函数的单调增区间
（3）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求函数的值域．

Answer 1

考点：三角函数的最值,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：运用二倍角的正弦和余弦公式、两角和的正弦公式化简f（x），再由特殊角的三角函数值即可得到（1）；再由正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到（2）；再由x的范围，求得2x+

π

6

的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到所求值域．

解答： 解：函数f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin²x
=

3

sin2x+cos2x=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

）．
（1）f（

π

6

）=2sin（

2π

6

+

π

6

）=2sin

π

2

=2；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
则函数的单调增区间为（kπ-

π

3

，kπ+

π

6

），k∈Z；
（3）由x∈[-

π

6

，

π

3

]，
得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
即有sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
则函数f（x）的值域为[-1，2]．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角的正弦和余弦公式及两角和的正弦公式的运用，考查正弦函数的单调区间和值域的运用，考查运算能力，属于基础题．