Question

已知z为复数，z+2i为实数，且（1-2i）•z为纯虚数，其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算,复数的代数表示法及其几何意义

专题：数系的扩充和复数

分析：（I）利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
（II）利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

解答： 解：（I）设z=m+bi，（m，b∈R）．
∵z+2i=m+（2+b）i为实数，且（1-2i）•z=m+2b+（b-2m）i为纯虚数，
∴2+b=0，m+2b=0，b-2m≠0，
解得b=-2，m=4．
∴z=4-2i．
（II）∵复数（z+ai）²=[4+（a-2）i]²=12-a²+4a+（8a-16）i复平面上对应的点在第二象限，
∴

12-a2+4a＜0 8a-16＞0

，解得a＞6．
∴实数a的取值范围是a＞6．

点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义、不等式的解法，属于基础题．