Question

已知函数f（x）=

1

3

x3+x2+ax-5
（1）若函数在（-∞，+∞）总是单调函数，求：实数a的取值范围；
（2）若函数在[1，+∞）上总是单调函数，求：实数a的取值范围；
（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，求：实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．

解答： 解：函数的f（x）的导数f′（x）=x²+2x+a，
（1）若函数在（-∞，+∞）总是单调函数，
则满足f′（x）=x²+2x+a≥0恒成立，
即判别式△=4-4a≤0，解得a≥1；
（2）若函数在[1，+∞）上总是单调函数，
则满足f′（x）=x²+2x+a≥0在[1，+∞）恒成立，
即a≥-x²-2x在[1，+∞）上恒成立，
∵-x²-2x=-（x+1）²+1，在[1，+∞）上单调递减，
∴函数y=-x²-2x的最大值为-3，
则a≥-3；
（3）函数在区间（-3，1）上单调递减，
则满足f′（x）=x²+2x+a≤0在（-3，1）恒成立，
即a≤-x²-2x，
∵-x²-2x=-（x+1）²+1，
∴对称轴为x=-1，
则当x=1或x=-3时，y=-x²-2x=-3，
则-x²-2x＞-3
∴a≤-3．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，利用导数是解决本题的关键．