Question

设函数f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ω

2

x+1（ω＞0），直线y=

3

与函数y=f（x）图象相邻两交点的距离为π．（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（

π

3

-x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（I）先化简解析式得f（x）=

3

sin（ωx-

π

3

），根据已知可求函数f（x）的最小正周期T=π，从而可求ω的值；
（Ⅱ）由（I）先求得解析式f（

π

3

-x）=-

3

sin（2x-

π

3

），从而可求其单调递增区间．

解答： 解：（I）f（x）=sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

-cosωx，即f（x）=

3

sin（ωx-

π

3

）
∵直线y=

3

与函数y=f（x）图象相邻两交点的距离为π．
∴函数f（x）的最小正周期T=π，即

2π

ω

=π，
可得ω=2…（6分）
（Ⅱ）由（I）知f（x）=

3

sin（2x-

π

3

），
∴f（

π

3

-x）=

3

sin（

π

3

-2x）=-

3

sin（2x-

π

3

），
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z
∴函数f（

π

3

-x）的单调递增区间[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z…（12分）

点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，复合三角函数的单调性，综合性较强，属于中档题．