Question

若等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N^*，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（r为常数）的图象上．（Ⅰ）求a_n和r的值；
（Ⅱ）记  b_n=

n

an+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（r为常数）的图象上．可得Sn=2n+r，当n=1时，a₁=2+r，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，由于数列{a_n}是等比数列，可得

a

2 2

=a1a3，解得r．
（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（r为常数）的图象上．
∴Sn=2n+r，
当n=1时，a₁=2+r，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+r-（2^n-1+r）=2^n-1，
∴a₂=2，a₃=4，
∵数列{a_n}是等比数列，∴

a

2 2

=a1a3，
∴2²=（2+r）×4，
解得r=-1，
∴a₁=1，
∴an=2n-1，r=-1．
（II）bn=

n

an+1

=

n

2n

，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
∴

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

2+n

2n+1

，
∴T_n=2-

2+n

2n

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．