Question

已知一组曲线f（x）=alnx+bx+1，其中a∈{2，4，6，8}，b∈{1，3，5，7}，从这些曲线中任取两条，它们在点（1，f（1））处的切线恰好平行的概率是（　　）

• A、

  1

  12

• B、

  7

  60

• C、

  3

  20

• D、

  1

  5

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：概率与统计

分析：由题意知，所有抛物线条数是4×4=16条，从16条中任取两条的方法数是C₁₆²=120，其中保证“它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的”有14条，从而可求得它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率．

解答： 解：a为2，4，6，8中任取一数，b为1，3，5，7中任取一数的曲线共16条，从这些曲线中任意抽取两条共C₁₆²=120种．
函数的f（x）的导数f′（x）=

a

x

+b，
则在x=1处的切线斜率k=f′（1）=a+b，
在与直线x=1交点处的切线的斜率为k=a+b因为切线相互平行，
则斜率相等，即a+b相等，
当a+b=5时，共（2，3），（4，1）两组，
当a+b=7时，共（2，5），（4，3），（6，1）三组，
当a+b=9时，共（2，7），（4，5），（6，3），（8，1）四组，
当a+b=11时，共（4，7），（6，5），（8，3），三组，
当a+b=13时，共（6，7），（8，5），两组，合计14组，
则对应的概率为

14

120

=

7

60

，
故选：B

点评：本题主要考查了由导数的几何意义求解曲线的切线的斜率，两直线平行的条件的应用及古典概型两种概率问题．