Question

已知圆C₁：x²+y2=2，在圆C₁上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PQ，Q为垂足，点M满足

PM

=（1-

2

2

）

PQ

．
（1）求点M的轨迹C₂的方程；
（2）过点（0，1）作直线l，l与C₁交于A、B两点，l与C₂交于C、D两点，求|AB|•|CD|的最大值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设M（x₀，y₀），P（x，y），则Q（x，0），由题意知(x0-x，y0-y)=(0，(

2

2

-1)y)，由此能求出点M的轨迹方程．
（2）当直线l斜率不存在时，|AB|•|CD|=4

2

，当直线l斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，将l：y=kx+1与C₁：x²+y²=2联立，得（k²+1）x²+2kx-1=0，由此利用根与系数的关系和弦长公式得|AB|=

8k2+4 k2+1

，同理|CD|=

k2+1

•

16k2 (2k2+1)2

，由此能求出|AB|•|CD|的最大值为4

2

．

解答： 解：设M（x₀，y₀），P（x，y），则Q（x，0），
∴

PM

=（x₀-x，y₀-y），

PQ

=（0，-y），
由题意知(x0-x，y0-y)=(0，(

2

2

-1)y)，
∴

x0-x=0 y0-y=( 2 2 -1)y

，解得

x=x0 y= 2 y0

，
∵P在圆C₁：x²+y²=2上，∴x02+2y02=2，
∴点M的轨迹方程为

x2

2

+y2=1．
（2）当直线l斜率不存在时，|AB|=2

2

，|CD|=2，
则|AB|•|CD|=4

2

，
当直线l斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将l：y=kx+1与C₁：x²+y²=2联立，消去y，整理，得：
（k²+1）x²+2kx-1=0，
由根与系数的关系，得：x1+x2=-

2k

k2+1

，x1x2=-

1

k2+1

，
∴|AB|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

k2+1

•

4k2 (k2+1)2 + 4 k2+1

=

8k2+4 k2+1

，
同理，设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
将直线l：y=kx+1与C₂：

x2

2

+y2=1联立，消去y，
整理，得：（2k²+1）x²+4kx=0，
由根与系数的关系，得：x3+x4=-

4k

2k2+1

，x₃x₄=0，
∴|CD|=

1+k2

•

(x3+x4)2-4x3x4

=

k2+1

•

16k2 (2k2+1)2

，
∴|AB|•|CD|=

8k2+4 k2+1

•

k2+1

•

16k2 (2k2+1)2

=8

k2 2k2+1

＜8•

1 2

=4

2

，
综上，|AB|•|CD|的最大值为4

2

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查线段乘积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和弦长公式的合理运用．