Question

已知函数；

（I）若＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；

（II）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求的值；

（III）若f（x）＜x²在（1，上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

.解：（I）由题意f（x）的定义域为（0，+∞），且f'（x）=…

∵a＞0，

∴f'（x）＞0，

故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数 　　　　

（II）由（I）可知，f′（x）=．

（1）若a≥﹣1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，

∴[f（x）]_min=f（1）=﹣a=，

∴a=﹣（舍去）　

（2）若a≤﹣e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，

∴[f（x）]_min=f（e）=1﹣（舍去）

（3）若﹣e＜a＜﹣1，令f'（x）=0得x=﹣a，当1＜x＜﹣a时，f'（x）＜0，

∴f（x）在（1，﹣a）上为减函数，f（x）在（﹣a，e）上为增函数，

∴[f（x）]_min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=

∴[f（x）]_min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=

∴a=﹣．