Question

数列{a_n}满足a₁=

1

2

，2a_n=a_n-1 +1（n≥2）．
（1）计算a₂，a₃，a₄
（2）由{a_n}的前4项猜想通项公式a_n，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）依题意，由a₁=

1

2

，2a_n=a_n-1 +1（n≥2），即可求得a₂，a₃，a₄；
（2）通过（1）可猜想a_n=1-

1

2n

，用数学归纳法证明，先证当n=1时结论成立，再假设假设n=k时，结论成立，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=

1

2

，2a_n=a_n-1 +1（n≥2），
∴2a₂=a₁+1=

3

2

，∴a₂=

3

4

．
同理a₃=

7

8

，a₄=

15

16

；
（2）猜想通项公式a_n=1-

1

2n

，证明如下：
①n=1时，结论成立；
②设n=k时，结论成立，即a_k=1-

1

2k

，
则n=k+1时，2a_k+1=a_k+1=2-

1

2k

，∴a_k+1=1-

1

2k-1

，
即n=k+1时，结论成立．
由①②可知a_n=1-

1

2n

．

点评：本题考查数列的递推式，考查归纳猜想，着重考查数学归纳法，考查推理与证明，属于中档题．