Question

已知函数f（x）=2^x+k•2^-x（k∈R）．
（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；
（2）若函数f（x）在（-∞，2]上为减函数，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数的概念，f（x）+f（-x）=0，解答即可；
（2）先讨论K的取值范围，再求取值范围

解答： 解：（1）f（x）+f（-x）=（k+1）（2^x+2^-x）=0对一切的x∈R成立，
所以k=-1．

（2）若k≤0，则函数f（x）在（-∞，2]单调递增（舍），
当k＞0时，令t=2^x∈（0，4]，
则函数g(t)=t+

k

t

在（0，4]上单调递减，
所以

k

≥4，
即k≥16．

点评：本题主要考查奇函数的性质，单调性的定义．