Question

已知函数f(x)=x+

ln|x|

x

，则函数y=f（x）的大致图象为（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的图象,对数函数的图像与性质

专题：计算题,作图题,导数的综合应用

分析：可得函数为奇函数，进而求导数可得（0，+∞）上的单调性，结合选项分析可得答案．

解答： 解：由题意可得函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
f(x)=x+

ln|x|

x

，可得f（-x）=-f（x），
故函数为奇函数，其图象关于原点对称，且在对称区间的单调性一致，
故只需研究当x＞0时的单调性即可，
当x＞0时，f′(x)=1+

1-lnx

x2

=

x2+1-lnx

x2

，
令g（x）=x²+1-lnx，（x＞0），
g′（x）=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，
令g′（x）=0，解得x=

2

2

，
故当0＜x＜

2

2

时，g′（x）＜0，g（x）是减函数，
x＞

2

2

时，函数g（x）是单调递增，g（x）的最小值为g（

2

2

）=

1

2

+1-ln

2

2

＞0，
∴f′（x）＞0在x＞0时，恒成立，函数是单调增函数，
综上可得选项C符合题意，
故选：C．

点评：本题考查函数的性质、导数，考查函数的图象，由函数的性质入手是解决问题的关键，属中档题．