Question

20．双曲线C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的焦点为F₁，F₂，其中F₂为抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点，设C₁与C₂的一个交点为P，若|PF₂|=|F₁F₂|，则C₁的离心率为$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 设P（m，n）位于第一象限，求出抛物线的焦点和准线方程，可得c=$\frac{p}{2}$，再由抛物线的定义，求得m，代入抛物线的方程可得n，代入双曲线的方程，由双曲线的a，b，c和离心率公式，化简整理计算即可得到所求值．

解答 解：设P（m，n）位于第一象限，可得m＞0，n＞0，
由题意可得F₂（$\frac{p}{2}$，0），且双曲线的c=$\frac{p}{2}$，
抛物线的焦点为准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可得m+$\frac{p}{2}$=|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
即有m=c，n=$\sqrt{2pm}$=$\sqrt{4{c}^{2}}$=2c，
即P（c，2c），代入双曲线的方程可得，
$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即为e²-$\frac{4{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=1，
化为e⁴-6e²+1=0，
解得e²=3+2$\sqrt{2}$（3-2$\sqrt{2}$舍去），
可得e=1+$\sqrt{2}$．
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线的定义和点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．