Question

9．在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x²+y²=4，直线l的方程为y=k（x+2），若在圆O上至少存在三点到直线l的距离为1，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $[{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• B． $[{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• C． $[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$
• D． $[{0，\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 求出圆心O（0，0），半径r=2，由在圆O上至少存在三点到直线l的距离为1，得到圆心O（0，0）到直线y=k（x+2）的距离d≤1，由此能求出实数k的取值范围．

解答 解：∵圆O的方程为x²+y²=4，直线l的方程为y=k（x+2），
∴圆心O（0，0），半径r=2，
∵在圆O上至少存在三点到直线l的距离为1，
∴圆心O（0，0）到直线y=k（x+2）的距离d≤1，
即d=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，
解得-$\frac{\sqrt{3}}{3}≤k≤\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴实数k的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故选：B．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．