Question

12．在△ABC中，AC=$\sqrt{2}$，AB=2，∠BAC=135°，D是BC的中点，M是AD上一点，且$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MD}$，则$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$的值是（　　）

• A． -$\frac{22}{9}$
• B． -$\frac{2}{9}$
• C． -$\frac{7}{3}$
• D． -$\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 运用向量数量积的定义求得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，运用向量中点的表示，求得$\overrightarrow{AD}$，再由向量的加减运算可得$\overrightarrow{AM}$，可得$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AM}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AM}$），展开运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．

解答 解：AC=$\sqrt{2}$，AB=2，∠BAC=135°，
可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos∠BAC=2$\sqrt{2}$•（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-2，
D是BC的中点，可得$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
且$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MD}$，即有$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
则$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AM}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AM}$）=（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$）•（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$）
=-$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$²+$\frac{5}{9}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{2}{9}$×4-$\frac{2}{9}$×2-$\frac{5}{9}$×2=-$\frac{22}{9}$．
故选：A．

点评 本题考查向量的加减运算和向量中点的表示，以及向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方．考查运算能力，属于中档题．