Question

6．已知f（x）=|x+1|+|x-2|
（Ⅰ）已知关于x的不等式f（x）＜2a-1有实数解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）解不等式f（x）≥x²-2x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论求出函数的最小值，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）分类讨论解不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|+|x-2|，
 ①当x≤-1时，f（x）=-2x+1≥3；
 ②当-1＜x≤2时，f（x）=3．
③当x＞2时，f（x）=2x-1＞3．
∵关于x的不等式f（x）＜2a-1有实数解，
∴2a-1＞3，∴a＞2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当x≤-1时，f（x）=-2x+1≥x²-2x，解得x=-1；
当-1＜x≤2时，f（x）=3≥x²-2x，解得-1≤x≤3，∴-1＜x≤2，
当x＞2时，f（x）=2x-1≥x²-2x，解得2-$\sqrt{3}$≤x≤2+$\sqrt{3}$，∴2＜x≤2+$\sqrt{3}$，
综上所述，不等式的解集为[-1，2+$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．