Question

已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）
①判断函数F（x）=f（x）-g（x）的奇偶性，并证明．
②解不等式：F（x）=f（x）-g（x）＞0．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：①先求得定义域为{x|-1＜x＜1}，由奇偶性的定义可判；
②原不等式可化为log_a

1+x

1-x

＞0，当a＞1时，不等式等价于

1+x

1-x

＞1，当0＜a＜1时，不等式等价于0＜

1+x

1-x

＜1，分别解不等式结合定义域可得．

解答： ①证明：由1+x＞0和1-x＞0可得-1＜x＜1，
∴函数F（x）=f（x）-g（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}，
∵F（x）=f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），
∴F（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-F（x），
∴函数F（x）=f（x）-g（x）为奇函数；
②解：由①不等式F（x）=f（x）-g（x）＞0可化为log_a（1+x）-log_a（1-x）＞0，
由对数的运算性质可得log_a

1+x

1-x

＞0，
当a＞1时，上不等式等价于

1+x

1-x

＞1，解得x＞0，结合定义域可得解集为{x|0＜x＜1}；
当0＜a＜1时，上不等式等价于0＜

1+x

1-x

＜1，解得x＜0，结合定义域可得解集为{x|-1＜x＜0}

点评：本题考查函数奇偶性的判定，涉及对数的运算和分类讨论的思想，属基础题．