Question

已知f（x）=mx²+（1-3m）x+2m-1．
（Ⅰ）设m=2时，f（x）≤0的解集为A，集合B=（a，2a+1]（a＞0）．若A⊆B，求a的取值范围；
（Ⅱ）求关于x的不等式f（x）≤0的解集S；
（Ⅲ）若存在x＞0，使得f（x）＞-3mx+m-1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：集合关系中的参数取值问题,一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：本题（Ⅰ）根据m=2，化简集合A，再利用A⊆B，比较区间端点的大小，得到a的取值范围；
（Ⅱ）先对相关不等式进行因式分解，再分类讨论，确定相应根的大小，得到本题结论；（Ⅲ）通过参变量分离，求出相应函数的最小值，得实数m的取值范围，即本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=mx²+（1-3m）x+2m-1，m=2，f（x）≤0，
∴（x-1）（2x-3）≤0，
∴1≤x≤

3

2

，
∴A=[1，

3

2

]．
∵A⊆（a，2a+1）（a＞0），
∴

2a+1≥ 3 2 a＜1

且a＞0，
∴

1

4

≤a＜1．
（Ⅱ）∵f（x）=mx²+（1-3m）x+2m-1，f（x）≤0，
∴（x-1）[mx-（2m-1）]≤0，
当m＜0时，S=(-∞，1]∪[2-

1

m

，+∞)；
当m=0时，S=（-∞，1]；
当0＜m＜1时，S=[2-

1

m

，1]；
当m=1时，S={1}；
当m＞1时，S=[1，2-

1

m

]．
（Ⅲ）∵f（x）＞-3mx+m-1，
∴m＞-

x

x2+1

．
令g(x)=-

x

x2+1

=-

1

x+ 1 x

(x＞0)，
∵x＞0，
∴x+

1

x

≥2，
∴0＜

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
∴-

1

2

≤g(x)＜0
∵存在x＞0，使得f（x）＞-3mx+m-1成立，
∴m＞[g（x）]_min，
∴m＞-

1

2

．
∴实数m的取值范围是(-

1

2

，+∞)．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、集合间关系，还考查了分类讨论的数学思想，本题有一定的思维难度，计算量适中，属于中档题．