Question

18．已知命题：p：?x∈（0，+∞），2lnx-x＞ax成立；命题q：双曲线x²+$\frac{y^2}{a}$=1的离心率e∈（1，2），若（?p）∨（?q）为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可知：$a＜\frac{2lnx-x}{x}$．设$f（x）=\frac{2lnx-x}{x}（{x＞0}）$，?原命题等价于a＜f（x）_max，求导根据函数的单调性，求得f（x）最大值，即可求得a的取值范围，由椭圆的离心率公式求得椭圆的离心率取值范围，根据不等式的性质，求得a的取值范围，由（?p）∨（?q）为假命题，即p真q真，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：命题p：2lnx-x＞ax，分参得$a＜\frac{2lnx-x}{x}$．
设$f（x）=\frac{2lnx-x}{x}（{x＞0}）$，?x∈（0，+∞），2lnx-x＞ax成立，等价于a＜f（x）_max，
${f^/}（x）=\frac{{2（{1-lnx}）}}{x^2}$，当0＜x＜e时，f′（x）＞0；
当x＞e时，f′（x）＜0，
故函数f（x）在（0，e）单调递增，在（2，+∞）单调递减，
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{2}{e}$-1，
故a＜$\frac{2}{e}$-1，①
命题q，双曲线x²+$\frac{y^2}{a}$=1的离心率e∈（1，2），可知a＜0，离心率e=$\sqrt{1-a}$，
∵$1＜\sqrt{1-a}＜2$，
∴-3＜a＜0．  ②…（10分）
若（?p）∨（?q）为假命题，则p真q真，
结合①和②知，$-3＜a＜\frac{2}{e}-1$…（12分）

点评 本题考查考查简单的逻辑连接词的应用，考查利用导数研究函数的单调性及最值，双曲线的简单性质，考查分离参数法及构造法求未知数的取值范围，考查计算能力，属于中档题．