Question

10．若点P（2，-1）（直角坐标系下的坐标）为曲线ρ²-2ρcosθ-24=0（极坐标系下的方程）的弦的中点，则该弦所在直线的直角坐标方程为x-y-3=0．

Answer 1

分析 曲线ρ²-2ρcosθ-24=0，化为直角坐标方程：（x-1）²+y²=25．设经过点P（2，-1）的弦的端点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．代入圆的方程相减可得：（x₁+x₂-2）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．

解答 解：曲线ρ²-2ρcosθ-24=0，化为直角坐标方程：x²+y²-2x-24=0，（x-1）²+y²=25．
设经过点P（2，-1）的弦的端点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
代入圆的方程可得：$（{x}_{1}-1）^{2}$+${y}_{1}^{2}$=25，$（{x}_{2}-1）^{2}$+${y}_{2}^{2}$=25，
相减可得：（x₁+x₂-2）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
把x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k代入上式可得：（4-2）-2k=0，解得k=1．
∴该弦所在直线的直角坐标方程为：y+1=x-2，即x-y-3=0．
故答案为：x-y-3=0．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．