Question

3．如图所示，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=a，BC=$\sqrt{2}$a，求OA和平面α所成的角．

Answer 1

分析 取BC的中点D，连接AD，BD，可得△OAC，△OAB是等边三角形，△OBC，△ABC是直角三角形，故AD⊥BC，利用勾股定理得出OD⊥AD，故AD⊥α，于是∠AOD为所求角．

解答 解：取BC的中点D，连接AD，BD．
∵OA=OB=OC=a，∠AOB=∠AOC=60°，
∴△OAC，△OAB是等边三角形，
∴AB=AC=a，
∴AD⊥BC，
又BC=$\sqrt{2}$a，
∴∠BOC=∠BAC=90°，
∴AD=OD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴OD²+AD²=OA²，
∴AD⊥OD，
又BC?平面α，OD?平面α，BC∩OD=D，
∴AD⊥平面α，∴∠AOD为OA与平面α所成的角，
∵OD=AD，AD⊥OD，
∴∠AOD=45°，即OA和平面α所成的角为45°．

点评 本题考查了线面角的计算，做出平面α的垂线，找出要求的线面角是解题关键，属于中档题．