Question

8．设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[-1，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在区间（-1，3]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（　　）

• A． （1，3）
• B． （2，4）
• C． （3，5）
• D． （4，6）

Answer 1

分析 利用因为f（x+2）=f（x），且f（x）是定义域为R的偶函数，求出函数f（x）是周期为2的偶函数，根据x∈[-1，0]时，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-1$，画出f（x）在区间（-1，3]上的图象，数形结合法，可得答案．

解答 解：由题意：f（x+2）=f（x），且f（x）是定义域为R的偶函数，又f（-1）=f（1），则有f（x+2）=f（x）．
所以f（x）是周期为2的偶函数，
又∵当x∈[-1，0]时，$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}-1$，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，故函数f（x）在区间（-1，3]上的图象如图所示：

若在区间（-1，3]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，
则log_a3＜1，log_a5＞1，
解得3＜a＜5，
故选C．

点评 本题考查了函数的奇偶性、指数函数与对数函数的单调性、函数的零点，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于中档题．