Question

7．已知圆x²+y²-2x-2y+1=0，直线l：y=kx，直线l与圆C交于A、B两点，点M的坐标为（0，b），且满足$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$．
（1）当b=1时，求k的值；
（2）当b∈（1，$\frac{3}{2}$）时，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当b=1时，点M（0，b）在圆C上，当且仅当直线l经过圆心C时，满足$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，把圆心坐标（1，1）代入直线l：y=kx，可得k的值；
（Ⅱ）把直线l的方程代入圆的方程转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系以及$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，求得2+$\frac{2k-2}{{k}^{2}+1}$=b+$\frac{1}{b}$，．令f（b）=b+$\frac{1}{b}$，在区间（1，$\frac{3}{2}$）上单调递增，求得f（b）∈（2，$\frac{13}{6}$），可得$\frac{2k-2}{{k}^{2}+1}$∈（0，$\frac{1}{6}$），解此不等式求得k的取值范围（注意检验△＞0）．

解答 解：（1）将圆转化成标准方程：（x-1）²+（y-1）²=1，
当b=1时，点M（0，1）在圆C上，
当且仅当直线l经过圆心C时，满足MP⊥MQ．
∵圆心C的坐标为（1，1），
∴k=1．
（Ⅱ）由 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-2y+1=0}\end{array}\right.$，消去y得：（k²+1）x²-（2k+2）x+1=0，①
设P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{2（1+k）}{1+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，
（x₁，y₁-b）（x₂，y₂-b）=0，即x₁•x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0
∵y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴（1+k²）x₁•x₂-kb（x₁+x₂）+b²=0，
∴（1+k²）•$\frac{1}{1+{k}^{2}}$-kb•$\frac{2（1+k）}{1+{k}^{2}}$+b²=0，即$\frac{2k（1+k）}{1+{k}^{2}}$=2+$\frac{2k-2}{{k}^{2}+1}$=$\frac{{b}^{2}+1}{b}$=b+$\frac{1}{b}$，
∵b∈（1，$\frac{3}{2}$），
设f（b）=b+$\frac{1}{b}$，由f（b）在区间（1，$\frac{3}{2}$）上单调递增，
f（b）∈（2，$\frac{13}{6}$），
∴$\frac{2k-2}{{k}^{2}+1}$∈（0，$\frac{1}{6}$），解得：1＜k＜6-$\sqrt{23}$或k＞6+$\sqrt{23}$，
k的取值范围（1，6-$\sqrt{23}$）∪（6+$\sqrt{23}$，+∞）．

点评 本题考查直线和圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次不等式的解法，函数的单调性及最值，考查计算能力，属于难题．